Question

已知a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R的充要條件是（ ）
A．?x∈R，ax²≥bx+c
B．?x∈R，ax²≤bx+c
C．?x∈R，ax²≥bx+c
D．?x∈R，ax²≤bx+c

Answer 1

【答案】分析：已知a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R，就是g（x）=ax²+ax+1的值域為[0，+∞），本題中函數f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R故內層函數的定義域不是全體實數，可由△≥0保障 f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R定義域不是全體實數，從而求出a的范圍；
解答：解：a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R，令g（x）=ax²-bx-c，
∴g（x）=ax²-bx-c的值域為[0，+∞），
∴△=（-b）²-4a（-c）=b²+4ac≥0，
說明方程ax²-bx-c=0，有實數根，
與x軸有交點，也即?x∈R，ax²-bx-c≤0，
若?x∈R，ax²≤bx+c，說明存在x使得g（x）=ax²-bx-c＜0，又a＞0，開口向上，
g（x）與x軸有交點，可得△≥0，
所以f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R，
故f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R的充要條件是：?x∈R，ax²≤bx+c，
故選B；
點評：本題考查二次函數的性質，難點在于對g（x）=ax²-bx-c的值域為[0，+∞）的理解與應用，常與函數f（x）=lg（ax²-bx-c）的定義域為R相混淆，也是易錯點，屬于中檔題．