Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F為其焦點，離心率為e．
（Ⅰ）若拋物線x=

1

8

y²的準線經過F點且橢圓C經過P（2，3），求此時橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過A（0，a）的直線與橢圓C相切于M，交x軸于B，且

AM

=μ

BA

，求證：μ+c²=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意知F（-2，0），即c=2，由橢圓定義知：2a=

(2+2)2+32

+

(2-2)2+32

=8，即a=4，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意可設直線的方程為：y=kx+a，根據過A（0，a）的直線與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相切可得：（a²k²+b²）x²+2a³kx+a²c²=0，由△=4a⁶k²-4a²c²（a²k²+b²）=0，知B(-

a

k

，0)，由此入手能夠證明μ+c²=0．

解答：解：（Ⅰ）依題意知F（-2，0），即c=2，（2分）
由橢圓定義知：2a=

(2+2)2+32

+

(2-2)2+32

=8，即a=4，（3分）
所以b²=12，
即橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．（5分）
（Ⅱ）證明：由題意可設直線的方程為：y=kx+a
根據過A（0，a）的直線與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相切
可得：（a²k²+b²）x²+2a³kx+a²c²=0（8分）
△=4a⁶k²-4a²c²（a²k²+b²）=0?a²k²（a²-c²）=c²b²?k²=e²（10分）
易知B(-

a

k

，0)，
設M（x₀，y₀）則由上知x0=-

a3k

a2k2+b2

（11分）
由

AM

=(x0，y0-a)，

BA

=(

a

k

，a)，

AM

=μ

BA

知x0=μ•

a

k

?-

a3k

a2k2+b2

=μ•

a

k

，?-

a2k2

a2k2+b2

=μ?-

c2

c2+b2

=μ，
∴μ+c²=0（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活地運用橢圓的性質，要注意合理地進行等價轉化．