Question

【題目】已知非零數列的遞推公式為,.

(1)求證數列是等比數列；

(2)若關于的不等式有解,求整數的最小值；

(3)在數列中,是否一定存在首項、第項、第項,使得這三項依次成等差數列？若存在,請指出所滿足的條件；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)整數的最小值為4.(3)存在,當且僅當,且為不小于4的偶數時,成等差數列

【解析】

(1)根據要證明是等比數列的數列,對已知的等式進行恒等變形,即可證明本結論；

(2)利用差比判斷數列的單調性,利用單調性求出整數的最小值；

(3)根據(1)求出數列的通項公式,結合已知,可以證明出存在首項、第項、第項,使得這三項依次成等差數列.

(1)由，得，

即，所以是首項為2，公比為2的等比數列．

(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等價于

令，

則，

所以單調遞增，則

，

于是，即，故整數的最小值為4.

(3)由上面得，則

要使成等差數列，只需，

即

因為，則上式左端；又因為上式右端

于是當且僅當，且為不小于4的偶數時，成等差數列．