【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，判斷函數(shù)
的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)
時，證明：
.（
為自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）函數(shù)
的定義域為
.
.
①當(dāng)
時，
.
當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞減.
②當(dāng)
時，
.
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)
時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
③當(dāng)
時，
.
易知
恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)
時，
.
當(dāng)
時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，函數(shù)在
和
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在
和
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)
時，不等式化為
.
記
，則
.
顯然
在上單調(diào)遞增，
且
，
.
所以在上有唯一的零點
，且
.
所以當(dāng)
時，
，函數(shù)
單調(diào)遞減；當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞增.
由
，即
，得
，
所以
，
而易知函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，
所以
，
所以
.
所以
，即
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了200名用戶，得到用戶的滿意度評分，現(xiàn)將評分分為5組，如下表:
組別 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
滿意度評分 |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 12 | 28 | 68 |
| 40 |
頻率 | 0.06 |
| 0.34 |
| 0.2 |
（1）求表格中的
，
，
的值；
（2）估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；
（3）若從這200名用戶中隨機抽取50人，估計滿意度評分高于6分的人數(shù)為多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒
病毒
引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能
下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計表：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代碼x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
感染者人數(shù) |
|
|
|
|
|
|
| 85 |
請根據(jù)該統(tǒng)計表，畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖；
請用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；
建立y關(guān)于x的回歸方程
系數(shù)精確到
，預(yù)測2019年我國艾滋病病毒感染人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：
；
，
，
，
參考公式：相關(guān)系數(shù)
，
回歸方程
中，
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】太極圖被稱為“中華第一圖”．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極魚”．已知
或
，下列命題中：①
在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域的面積為
；②
，使得
；③
，都有
成立；④設(shè)點
，則
的取值范圍是
．其中真命題的個數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的個數(shù)是（ ）．
①“若
,則
,
中至少有一個不小于2”的逆命題是真命題；
②命題“設(shè)
,若
,則
或
”是一個真命題；
③命題
,
,則
是
的必要不充分條件；
④命題“
,使得
”的否定是：“
，均有
”．
A.4B.3C.2D.1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直線ρcosθ=1與曲線C相交于M，N兩點，直線l過定點P（2，0）且傾斜角為α，l交曲線C于A，B兩點．
（1）把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，并求|MN|的值；
（2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比數(shù)列，求直線l的傾斜角α．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地抽查產(chǎn)品進行檢測，現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機抽取100個產(chǎn)品進行相關(guān)數(shù)據(jù)的對比，并對每個產(chǎn)品進行綜合評分（滿分100分），將每個產(chǎn)品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.
（1）求圖中
的值，并求綜合評分的中位數(shù)；
（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機抽取5個產(chǎn)品，再從這5個產(chǎn)品中隨機抽取2個產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個產(chǎn)品中恰有一個一等品的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖
，在高為
的等腰梯形
中，
，且
，
，將它沿對稱軸
折起，使平面
平面
，如圖
，點
為
的中點，點
在線段
上(不同于
，
兩點)，連接
并延長至點
，使
.
(1)證明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
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