Question

已知函數f （x）=4sinx•sin²（+）+2cos²x+1+a，x∈R是一個奇函數．
（1）求a的值和f （x）的值域；
（2）設w＞0，若y=f （wx）在區間[-，]的增函數，求w的取值范圍；
（3）設|θ|＜，若對x取一切實數，不等式4+f （x+θ）f （x-θ）＞2f （x）都成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：首先將函數化簡（1）根據函數是奇函數求出a的值，然后有正弦函數求出值域；
（2）寫出函數f （wx）的式子，然后根據正弦函數的單調性求出x的范圍，進而根據區間[-，]的增函數，求出w的取值范圍；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化簡和求出最小值，再利用sin²θ＜，求出結果．
解答：解：化簡得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）⇒a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-+2kπ≤wx≤2kπ+k∈Z
-+≤x≤+

⇒0＜w≤
綜上以上，0＜w≤（8分）
（3）|θ|＜，x∈R時
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin²x-sinx+1＞sin²θ恒成立
（sin²x-sinx+1）_min=
∴sin²θ＜
-＜sinθ＜θ∈（-，）
∴θ∈（-，）（13分）
點評：本題考查了正弦函數的單調性和奇偶性以及不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題轉化成求函數最值問題即可．屬于中檔題．