Question

如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，點P在△ABC所在的平面內，且（a為常數）．下列結論中，正確的是

1. A.
   當0＜a＜1時，滿足條件的點P有且只有一個．
2. B.
   當a=1時，滿足條件的點P有三個．
3. C.
   當a＞1時，滿足條件的點P有無數個．
4. D.
   當a為任意正實數時，滿足條件的點P是有限個．

Answer 1

C
分析：以BC所在直線為x軸，BC中點為原點，建立直角坐標系，如圖所示設P（x，y），將式子化為關于x、y、a的式子，化簡整理可得x²+（y-）²=（a-1），討論a的取值范圍，可得當a＞1時方程表示以點（0，）為圓心，半徑r=的圓，滿足條件的點P有無數個，可知只有C項符合題意．
解答：解：以BC所在直線為x軸，BC中點為原點，建立直角坐標系，如圖所示
則A（-，0），B（，0），C（0，），設P（x，y），可得
=x²+（y-）²，=（x+）²+y²，=（x-）²+y²
∵
∴x²+（y-）²+（x+）²+y²+（x-）²+y²=a
化簡得：3x²+3y²-y+-a=0，即x²+y²-y+-=0
配方，得x²+（y-）²=（a-1）…（1）
當a＜1時，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；
當a=1時，方程（1）的右邊為0，表示點（0，），恰好是正三角形的重心；
當a＞1時，方程（1）的右邊大于0，表示以（0，）為圓心，半徑為的圓
由此對照各個選項，可得只有C項符合題意
故選：C
點評：本題給出正三角形中滿足條件的動點P，求點P的軌跡方程，著重考查了坐標系內兩點的距離公式、圓的標準方程和含有參數的二次方程的討論等知識，屬于中檔題．