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（2012•徐州模擬）如圖，△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則
AP
•
BP
的取值范圍是
[1，13]
[1，13]
．
分析：根據△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，算出
AC
•
BC
=6，分別將
AP
和
BP
分解為以
AC
、
BC
和
CP
為基向量的式子，將數量積
AP
•
BP
展開，化簡整理得
AP
•
BP
=7+
CP
（
AC
+
BC
），最后研究
AC
+
BC
的大小與方向，可得
CP
（
AC
+
BC
）的最大、最小值，最終得到
AP
•
BP
的取值范圍．
解答：解：∵
|AC|
=
|BC|
=2
3
，∠ACB=60°
∴
AC
•
BC
=2
3
•2
3
cos60°=6
∵
AP
=
AC
+
CP
，
BP
=
BC
+
CP

∴
AP
•
BP
=（
AC
+
CP
）（
BC
+
CP
）=
AC
•
BC
+
CP
（
AC
+
BC
）+
CP
2
∵
|CP|
=1
∴
AP
•
BP
=6+
CP
（
AC
+
BC
）+1=7+
CP
（
AC
+
BC
）
∵△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，
∴向量
AC
+
BC
是與AB垂直且方向向上，長度為6的一個向量
由此可得，點P在圓C上運動，當
CP
與
AC
+
BC
共線同向時，
CP
（
AC
+
BC
）取最大值，且這個最大值為6
當
CP
與
AC
+
BC
共線反向時，
CP
（
AC
+
BC
）取最小值，且這個最小值為-6
故
AP
•
BP
的最大值為7+6=13，最小值為7-6=1．即
AP
•
BP
的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
點評：本題在等邊三角形和單位圓中，求向量數量積的取值范圍，著重考查了平面向量的加減法則和平面向量數量積的運算性質，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區域內作答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，半徑分別為R，r（R＞r＞0）的兩圓⊙O，⊙O1內切于點T，P是外圓⊙O上任意一點，連PT交⊙O1于點M，PN與內圓⊙O1相切，切點為N．求證：PN：PM為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
21
34

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量；
C．選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中，求圓C的參數方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
(θ為參數r＞0），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
．若直線l與圓C相切，求r的值．
D．選修4-5：不等式選講
已知實數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求證：1＜a+b＜
4
3
．

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