Question

16．（1）在所給的平面直角坐標系內，畫出函數f（x）=x²-2x（x∉R）的圖象，根據圖象寫出函數f（x）的單調遞減區間并用定義證明；
（2）求函數f（x）=x²-2x，x∈[a，a+1]（其中a為實數）的最小值．

Answer 1

分析 （1）確定二次函數的圖象關鍵因素（開口方向、對稱軸、頂點坐標），由圖象可直接寫出單調區間；
（2）根據對稱軸與給定區間的位置關系分三種情況討論，得到函數的最小值．

解答 解：（1）圖象如圖：
減區間為：（-∞，1]；
證明：設x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁-（${{x}_{2}}^{2}$-2x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0，
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）單調減區間為（-∞，1]．
（2）①當a+1≤1即a≤0時，[a，a+1]⊆（-∞，1]，則f（x）在[a，a+1]上是減函數，
∴當x=a+1時，函數f（x）=x²-2x的最小值f（a+1）=a²-1．
同理，②當0＜a≤1時，函數f（x）=x²-2x的最小值f（1）=-1．
③當a＞1時，函數f（x）=x²-2x的最小值f（a）=a²-2a．

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，考查分類討論思想的應用，數形結合思想的應用，考查計算能力．