Question

6．判斷下列函數的奇偶性：
（1）f（x）=log₂（x+1）+log₂（x-1）是非奇非偶函數；
（2）f（x）=log₂（x²-1）是偶函數；
（3）f（x）=log₂（x+1）+log₂（1-x）是偶函數；
（4）f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$是奇函數．

Answer 1

分析 分別求出函數的定義域，結合函數奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\end{array}\right.$，即x＞1，即函數的定義域為（1，+∞），則函數為非奇非偶函數，
（2）由x²-1＞0，得x＞1或x＜-1，則f（-x）=log₂[（-x）²-1]=log₂（x²-1）=f（x），則函數f（x）是偶函數，
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，則函數的定義域為（-1，1），則f（-x）=log₂（-x+1）+log₂（1+x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）]=f（x），
則函數f（x）是偶函數，
（4）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，則函數的定義域為（-1，1），則f（-x）+f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（$\frac{1+x}{1-x}$•$\frac{1-x}{1+x}$）=log₂1=0，
則f（-x）=-f（x），即則函數f（x）是奇函數，
故答案為：非奇非偶，偶，偶，奇

點評 本題主要考查函數奇偶性的判斷，先求函數的定義域，然后利用奇偶性的定義是解決本題的關鍵．