Question

關于x的方程4sinx-sin²x+m-3=0恒有實數解，則實數m的取值范圍是（ ）
A．[1，+∞）
B．[-1，8]
C．[1，5]
D．[0，8]

Answer 1

【答案】分析：利用換元法設t=sinx，將方程轉化為一元二次方程-t²+4t+m-3=0（-1≤t≤1），然后利用一元二次方程的知識求解．
解答：解：設t=sinx，則-1≤t≤1．
所以原方程等價為-t²+4t+m-3=0，即m=t²-4t+3．
因為y=t²-4t+3=（t-2）²-1，
所以當-1≤t≤1時，函數y=t²-4t+3=（t-2）²-1單調遞減，
所以0≤y≤8，所以要使方程有解，則必有0≤m≤8．
故實數m的取值范圍是[0，8]．
故選D．
點評：本題主要考查了函數與方程之間的關系，利用換元法將方程轉化為一元二次方程，然后利用一元二次函數的性質求解是解決本題的關鍵．