Question

已知函數f(x)=1-

2

2x+1

，
（1）證明函數f（x）的奇偶性；
（2）利用函數單調性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數．

Answer 1

分析：（1）已知函數f(x)=1-

2

2x+1

，根據奇函數和偶函數的性質，判斷f（-x）與f（x）的關系，從而進行判斷；
（2）從R上任取x₁、x₂，設x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁，再判斷f（x₁）-f（x₂）與0的關系，用定義法進行證明；

解答：解：（1）∵2^x+1≠0，
∴f（x）的定義域為R，關于原點對稱．       …（2分）
又∵f(-x)=1-

2

2-x+1

=1-

2.2x

1+2x

=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

=-f(x)
∴f（x）為奇函數
（2）∵f(x)=1-

2

2x+1

從R上任取x₁、x₂，設x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁…．（6分）
則△y=f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=2(

1

2x2+1

-

1

2x1+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

…（10分）
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）…（11分）
∴f（x）在其定義域R上是增函數                                    …（12分）

點評：此題主要考查奇函數的性質及其應用，以及用定義法證明函數的單調性，此題是一道基礎題；