Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n＞1），寫出這個數列的前五項，求這個數列的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：根據數列遞推式，直接求解這個數列的前五項，然后變形可得數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，由此可得結論．

解答： 解：由題意a₁=1，a_n+1=2a_n+1可以得到a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，a₄=2a₃+1=15，a₅=2a₄+1=31．
∵a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n＞1），
∴a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）
所以

an+1

an-1+1

=2，所以數列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列．
則有a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的判定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．