Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為4的正方形，A₁C₁與B₁D₁交于點N，BC₁與B₁C交于點M，且AM⊥BN，建立空間直角坐標系．
（1）求AA₁的長；
（2）求＜

BN

，

AD1

＞；
（3）對于n個向量

a1

，

a2

，…，

an

，如果存在不全為零的n個實數λ₁，λ₂，…，λ_n，使得λ₁

a1

+λ₂

a2

+…+λ_n

an

=0成立，則這n個向量

a1

，

a2

，…，

an

叫做線性相關，不是線性相關的向量叫線性無關，判斷

AM

，

BN

，

CD

是否線性相關，并說明理由．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用,空間向量及應用

分析：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標系，設AA₁的長為a，可求得B，N、A、M的坐標，繼而可得

BN

=（-2，-2，a），

AM

=（-2，4，

a

2

），由

AM

⊥

BN

⇒

AM

•

BN

=0，可求得a=2

2

，即AA₁的長；
（2）利用向量的數量積的坐標運算可求得cos＜

BN

，

AD1

＞=

BN • AD1

| BN || AD1 |

=

6

3

，利用反三角函數即可求得＜

BN

，

AD1

＞=arccos

6

3

；
（3）由于

AM

=（-2，4，

2

），

BN

=（-2，-2，2

2

），

CD

=（0，-4，0），利用λ₁

AM

+λ₂

BN

+λ₃

CD

=0可求得λ₁=λ₂=λ₃=0，從而可作出正確判斷．

解答： 解：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標系．

設AA₁的長為a，則B（4，4，0），N（2，2，a），

BN

=（-2，-2，a），A（4，0，0），M（2，4，

a

2

），

AM

=（-2，4，

a

2

），
由

AM

⊥

BN

，得由

AM

•

BN

=0，即a=2

2

．
（2）

BN

=（-2，-2，2

2

），

AD1

=（-4，0，2

2

），cos＜

BN

，

AD1

＞=

BN • AD1

| BN || AD1 |

=

6

3

，＜

BN

，

AD1

＞=arccos

6

3

．
（3）由

AM

=（-2，4，

2

），

BN

=（-2，-2，2

2

），

CD

=（0，-4，0），λ₁（-2，4，

2

）+λ₂（-2，-2，2

2

）+λ₃（0，-4，0）=（0，0，0）
得λ₁=λ₂=λ₃=0，

AM

，

BN

，

CD

是線性無關

點評：本題考查空間向量的坐標運算，建立空間直角坐標系，得到相應的點與所需向量的坐標是關鍵，考查作圖、分析與推理運算能力，考查轉化思想．