Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1，(a，b∈R)在區間[-1，3]上是減函數，則b的最小值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：求出f′（x），因為函數在區間[-1，3]上是減函數得到f（-1）和f（3）都≤0，分別列出關于a與b的兩個不等式，聯立即可得到u=2a+b≥1，v=b-6a≥9，而b=

3

4

（2a+b）+

1

4

（-6a+b），由不等式的性質可得范圍．

解答：解：求導數可得f′（x）=x²+2ax-b，
函數f（x）在區間[-1，3]上是減函數即在區間[-1，3]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且9+6a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-6a≥9④，
設u=2a+b≥1，v=b-6a≥9，
設b=mu+nv=m（2a+b）+n（-6a+b）
=（2m-6n）a+（m+n）b，
對照系數得：2m-6n=0，m+n=1，解得：m=

3

4

，n=

1

4

故b=

3

4

（2a+b）+

1

4

（-6a+b）≥

3

4

×1+

1

4

×9=3
故選C

點評：本題考查學生利用導數研究函數的單調性，靈活運用不等式的范圍求未知數的最值，屬中檔題．