Question

10．如圖直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中AC=2AA₁，AC⊥BC，D、E 分別為A₁C₁、AB 的中點．求證：
（1）AD⊥平面BCD
（2）A₁E∥平面BCD．

Answer 1

分析 （1）只需證明BC⊥AD，DC⊥AD，證明 即可AD⊥平面BCD
（2）取BC中點O，連結DO、OE可得四邊形A₁DOE為平行四邊形，即A₁E∥OD，A₁E∥平面BCD．

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面AA₁C₁C，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
而AD?平面AA₁C₁C∴BC⊥AD…①
又該直三棱柱中AA₁⊥A₁C₁，CC₁⊥A₁C₁，
由已知AA₁=$\frac{1}{2}$ AC=A₁D，則∠A₁DA=$\frac{π}{4}$，
同理∠C₁DC=$\frac{π}{4}$，則∠ADC=$\frac{π}{2}$，即CD⊥AD，
由①BC⊥AD，BC∩CD=C，BC，CD?平面BCD，
∴AD⊥平面BCD；
（2）取BC中點O，連結DO、OE，∵AE=EB，CO=BO∴OE平行等于$\frac{1}{2}$ AC，
而A₁D平行等于$\frac{1}{2}$AC，
∴A₁D平行等于OE∴四邊形A₁DOE為平行四邊形，
∴A₁E∥OD，而A₁E?平面BCD，OD?平面BCD，
∴A₁E∥平面BCD．

點評 本題考查了空間線面垂直、線面平行的判定，屬于中檔題