Question

給定兩個命題，P：對任意實數x都有x²+ax+4＞0恒成立；Q：函數f（x）=x²-2ax+3在區間（1，+∞）上單調遞增．如果P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出組成復合命題的簡單命題的為真時，a的取值范圍，由復合命題真值表知，若“p且q”為假，“p或q”為真，則命題p、q一真一假，
分別求出當p真q假時和當q真p假時a的取值范圍，再求并集可得答案．

解答：解：由對任意實數x都有x²+ax+4＞0恒成立，得△=a²-16＜0⇒-4＜a＜4；
∴命題P為真命題時，-4＜a＜4；
由函數f（x）=x²-2ax+3在區間（1，+∞）上單調遞增，得a≤1，
∴命題Q為真命題時，a≤1，
由復合命題真值表知，如果P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，則命題P、Q一真一假，
如果P真Q假，則有

-4＜a＜4 a＞1

⇒1＜a＜4；             
如果Q真P假，則有

a≤-4或a≥4 a≤1

⇒a≤-4；             
綜上實數a的取值范圍為（-∞，-4]∪（1，4）．

點評：本題考查了復合命題的真假判斷，考查了一元二次不等式的恒成立問題及一元二次函數的單調區間，解題的關鍵是求得組成復合命題的簡單命題為真時a的取值范圍．