Question

給定兩個命題，P：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：關于x的方程x²-x+a=0有實數根；如果“P∧Q”為假，且“P∨Q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據二次函數恒成立的充要條件，我們可以求出命題p為真時，實數a的取值范圍，根據二次函數有實根的充要條件，我們可以求出命題q為真時，實數a的取值范圍，然后根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p，q中一個為真一個為假，分類討論后，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；
關于x的方程x²-x+a=0有實數根?1-4a≥0?a≤

1

4

；
由于“P∧Q”為假，且“P∨Q”為真，則P與Q一真一假；
（1）如果P真，且Q假，有0≤a＜4，且a＞

1

4

⇒

1

4

＜a＜4；
（2）如果Q真，且P假，有a＜0或a≥4，且a≤

1

4

⇒a＜0．
所以實數a的取值范圍為：(-∞，0)∪(

1

4

，4)．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，復合命題的真假，函數恒成立問題，其中判斷出命題p與命題q為真時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．