Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，側(cè)面底面，，為線段上一點(diǎn)，且滿足.

（1）若為的中點(diǎn)，求證：；

（2）當(dāng)最小時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

(1)根據(jù)中點(diǎn)可得 ，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得面，即可證明結(jié)論(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線和垂直于面向上的方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)半平面的法向量，利用公式求其夾角余弦即可.

（1）在，因?yàn)?/span>,，

為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槊?/span>面，面面，所以面，

又面，

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線和垂直于面向上的方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則有，因?yàn)閭?cè)面底面，，

所以，

所以，

當(dāng)時(shí)，最小，

此時(shí)，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，

所以，令，則，

而平面的一個(gè)法向量為，

所以，

故二面角的余弦值為.