Question

【題目】如圖，在四棱錐，為矩形，，，平面平面．

（1）證明：平面平面；

（2）若為中點(diǎn)，直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，，從而平面，由此能證明平面平面．

（2）由平面，為在平面內(nèi)的射影，從而即為直線與平面所成的角，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

（1）證明：∵平面平面，平面平面，

矩形中，，

∴平面．

∵平面，

∴．

又∵，，平面，平面．

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

（2）解：由（1）知平面，為在平面內(nèi)的射影，

∴即為直線與平面所成的角，

由題意，，，

取中點(diǎn)，連結(jié)，則，

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

則，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，，∴．

同理易得，平面的一個(gè)法向量為，

由，

∴二面角的正弦值為．