Question

【題目】已知如圖，長方體中，，，點，，分別為，， 的中點，過點的平面與平面平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形.

（1）在圖中畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（畫圖說出作法，不用說明理由）；

（2）求證：平面.

Answer 1

【答案】(1) .(2)見解析.

【解析】

（1）以公理三及其推理，以及面面平行判定定理為依據，即可作出過點且與平面平行的平面，由于其截面為等腰梯形，對應運用梯形面積公式即可求出該梯形面積.

（2）設交EF于Q，連接DQ，關鍵通過證明以及，即可利用線面垂直判定定理證明.而對于的證明，可以通過平面即可，而的證明，需要證得即可.

（1）設N為的中點，連結MN，AN、AC、CM，

則四邊形MNAC為所作圖形；

易知MN（或），四邊形為梯形，

且，

過M作MP⊥AC于點P，可得，

，得

所以梯形的面積=；

（2）證法1：在長方體中，設交EF于Q，連接DQ，則Q為EF的中點并且為的四等點，如圖，

由得，又，，

平面，則，

且，則

，

，

平面

證法2：設交EF于Q，連接DQ，則Q為EF的中點，且為的四等分點，

由可知，

又，，

平面，

由得，

得，

，

，又，

平面