Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，且與橢圓相交于，兩點（異于點），過作的角平分線交橢圓于另一點.證明：直線與坐標軸平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據橢圓的性質，求解即可；

（2）因為平分，欲證與坐標軸平行，即證明直線的方程為或，只需證，斜率都存在，且滿足即可.將直線的方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理求解即可.

（1）解：，將代入橢圓方程，得，

解得，故橢圓的方程為.

（2）證明：∵平分

欲證與坐標軸平行，即證明直線的方程為或

只需證，斜率都存在，且滿足即可.

當或斜率不存在時，即點或點為，

經檢驗，此時直線與橢圓相切，不滿足題意，故，斜率都存在.

設直線：，，，

聯立，

，∴，

由韋達定理得，，

得證.