Question

（本題滿分16分）

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線l的方程為x=－2，點(diǎn)P在準(zhǔn)線上l上，縱坐標(biāo)為，點(diǎn)Q在y軸上，縱坐標(biāo)為2t。

求拋物線C的方程；

求證：直線PQ恒與一個(gè)圓心在x軸是的定圓M相切，并求圓M的方程。

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的方程為，

因?yàn)闇?zhǔn)線的方程為，所以，即，

因此拋物線的方程為．  …………………………………………………………4分

（2）由題意可知，，,

則直線方程為：，即，………………8分

設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為，

則圓心到直線的距離， …………………………………10分

即①，或② ，

由①可得對任意恒成立，則有

，解得（舍去），……………………………………………………14分

由②可得對任意恒成立，則有

，可解得

因此直線恒與一個(gè)圓心在軸上的定圓相切，圓的方程為.

…………………………………………………………………………………………………16分