Question

已知實數x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0.

（1）求y-x的最大值和最小值；

（2）求x²+y²的最大值和最小值.

Answer 1

（1）y-x的最大值為-2+，最小值為-2-（2）x²+y²的最小值是（2-）²=7-4

解析:

（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b=-2±.                                 5分

所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.                                  6分

（2）x²+y²表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.                                                                                                                                   8分

又圓心到原點的距離為=2，

所以x²+y²的最大值是（2+）²=7+4，

x²+y²的最小值是（2-）²=7-4.                                                                                12分