Question

已知函數f（x）=（a、b是非零實常數）滿足f（1）=，且方程f（x）=x有且僅有一個實數解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐標系中，求定點A（0，2）到函數f（x）圖象上任意一點P（x，y）的距離|AP|的最小值．
（3）當x∈（]時，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，且f（1）=，
∴=，即a+b=2；
又=x有且僅有一個實數解，
∴x（）=0有且僅有一個實數解，為0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）=．
（2）由（1）知，P（x，），
|AP|²=+x²
=+x²
=+[（x+1）-1]²，
令t=，
則|AP|²=t²+2t+1+-+1
=+2（t-）+4，
令r=t-，
則|AP|²=r²+2r+4=（r+1）²+3，
∴當r=-1，即t-=-1，t=時，|AP|的最小值為．
（3）∵x∈（]，
∴x+1＞＞0，
∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?x＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1，
當m+1＞0，即m＞-1時，
有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min，
∴-1＜m＜；
當m+1＜0，即m＜-1時，同理可得m＞（x+1）_max=，
∴此時m不存在．
綜上得-1＜m＜．
分析：（1）依題意，a+b=2，由x（）=0有且僅有一個實數解x=0可求得b=1，a=1；
（2）由（1）知，P（x，），從而可得|AP|²=+[（x+1）-1]²，通過換元，令t=，得|AP|²=+2（t-）+4，再令r=t-，通過配方即可求得|AP|的最小值；
（3）依題意，x∈（]時，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1恒成立，通過對m+1＞0與m+1＜0的討論，結合函數恒成立問題即可求得實數m的取值范圍．
點評：本題考查函數恒成立問題，考查方程思想、分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，考查換元法與配方法，考查推理與運算能力，屬于難題．