Question

求證：對任意x、y∈R，都有

7x+1

72x+49

≤5-3y+

1

2

y²，并說明等號何時成立．

Answer 1

分析：首先分析題目要求證明不等式

7x+1

72x+49

≤  5-3y+

1

2

y2，可對不等式兩邊分別做討論，左邊利用基本不等式可得

7x+1

72x+49

≤

1

2

，右邊根據(jù)配方法得出5-3y+

1

2

y2≥

1

2

，綜合起來即得結(jié)果，當不等式兩邊都等于

1

2

的時候等號成立，解得x y的值即可．

解答：證明：首先利用基本不等式可得；7^2x+49≥2•7^x•7=2•7^x+1，
所以

7x+1

72x+49

≤

7x+1

2•7x+1

=

1

2

．
又因為5-3y+

1

2

y²=

1

2

（y-3）²+

1

2

≥

1

2

，
所以

7x+1

72x+49

≤5-3y+

1

2

y²．即得證．
當且僅當x=1，y=3時取等號．

點評：此題主要考查基本不等式的應(yīng)用和由配方法求最值的問題，這2個知識點都屬于重點考點且應(yīng)用廣泛，同學們需要多加注意．