Question

已知函數f（x）對任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y）且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-

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（1）求證：f（x）+f（-x）=0
（2）求證：函數f（x）是R上的減函數；
（3）求f（X）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 代入即證
（2）設x₂＞x₁則x₂-x₁＞0，由已知當x＞0時，f（x）＜0可得f（x₂-x₁）＜0，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）可證
（3）由（2）可得f（x）在[-3，3]上單調遞減，且f（1）=-

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，從而可得函數有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）；函數有最大值，f（-3）=-f（3）可求

解答：（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
（2）證明：設x₂＞x₁則x₂-x₁＞0
∵當x＞0時，f（x）＜0
∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）
∴函數f（x）是R上的減函數
（3）解：由（2）可得f（x）在[-3，3]上單調遞減，且f（1）=-

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當x=3時函數有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2
當x=-3時函數有最大值，f（-3）=-f（3）=2
從而可得函數的最值為2，最小值為-2．

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數函數值，及利用賦值判斷函數的奇偶性，利用函數單調性求解函數的最值，利用構造條件判斷抽象函數的單調性的技巧要求體會掌握，是函數知識的綜合應用．