Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x、y∈R都有f（x）+f（y）=f（ x+y）．
（1）求證：函數f（x）是奇函數；
（2）如果當x∈（-∞，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數；
（3）在滿足條件（2）求不等式f（1-2a）+f（4-a²）＞0的a的集合．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的定義知，需要證明出f（-x）=-f（x），觀察恒等式發現若令y=-x，則問題迎刃而解；
（2）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區間內比較f（x₁）-f（x₂）與0的大小即可．
（3）根據奇函數把不等式變形，再根據單調性轉化不等式的解之即可．

解答：（1）、證明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數．
（2）、任取-1＜x₁＜x₂＜1，則x₁-x₂＜0，
由題設x＜0時，f（x）＞0，可得f（x₁-x₂）＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
故有f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數．
（3）、任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
由題設x＜0時，f（x）＞0，可得f（x₁-x₂）＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
故有f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在R上是單調遞減函數．
由題意可知：f（x）奇函數，f（1-2a）+f（4-a²）＞0
所以f（1-2a）＞f（a²-4）
又因為f（x）在R上是單調遞減函數．
所以1-2a＜a²-4，
解得：(-∞，-1-

6

)∪(-1+

6

，+∞)．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值證明函數的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，利用函數的奇偶性和單調性解抽象不等式．
此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．