Question

【題目】已知函數f(x)＝2x－ 的定義域為(0，1](a為實數).
（1）當a＝1時，求函數y＝f(x)的值域；
（2）求函數y＝f(x)在區間(0，1]上的最大值及最小值，并求出當函數f(x)取得最值時x的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：當a＝1時，f(x)＝2x－ ，任取1≥x1＞x2＞0，
則f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－ ＝(x1－x2) .
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上單調遞增，無最小值，當x＝1時取得最大值1，所以f(x)的值域為(－∞，1].
（2）解：當a≥0時，y＝f(x)在(0，1]上單調遞增，無最小值，當x＝1時取得最大值2－a；
當a＜0時，f(x)＝2x＋ ，
當 ≥1，即a∈(－∞，－2]時，y＝f(x)在(0，1]上單調遞減，無最大值，當x＝1時取得最小值2－a；
當 ＜1，即a∈(－2，0)時，y＝f(x)在 上單調遞減，在
上單調遞增，無最大值，當x＝ 時取得最小值2 .
【解析】本題主要考查求解函數的值域以及最值問題。（1）利用函數的單調性求函數的值域問題。（2）根據函數的單調性求函數在區間上的最值問題。