Question

(14分)如圖，在三棱錐S—ABC中，是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA =" SC" =，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。

⑴ 求證：AC⊥SB；
⑵ 求二面角N—CM—B的正切值；
⑶ 求點(diǎn)B到平面CMN的距離。

Answer 1

⑴取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz
  ⑵  ⑶

試題分析：⑴ 取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB

∵平面平面ABC，平面SAC平面ABC=AC
∴SO⊥平面ABC， SO⊥BO
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz
則



⑵ 由⑴得
設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，則，取
則
又為平面ABC的一個(gè)法向量

⑶ 由⑴⑵得為平面CMN的一個(gè)法向量
∴點(diǎn)B到平面CMN的距離……14分
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是由已知條件找到建立空間直角坐標(biāo)系的合適位置，進(jìn)而找到相關(guān)點(diǎn)，向量的坐標(biāo)，代入線面角點(diǎn)面距的向量計(jì)算公式求解，有一定的難度