Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中點．

（1）求證：BD1∥平面AEC．
（2）求異面直線BC1與AC所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結BD交AC于O，則O為BD的中點，

連EO，因為E是DD1的中點，所以EO∥BD1，

又EO面AEC，BD1面AEC，

所以BD1∥平面AEC

（2）解：連結AD1、CD1，

∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，得BC1∥AD1，

由此可得∠D1AC（或補角）就是異面直線AC與BC1所成角．

∵△AD1C是等邊三角形，

∴∠D1AC=60°，即異面直線AC與BC1所成角的大小為60°．

【解析】（1）利用線面平行的判定定理進行證明．（2）連結AD1、CD1 ， 可證出四邊形ABC1D1是平行四邊形，得BC1∥AD1 ， 得∠D1AC（或補角）就是異面直線AC與BC1所成角．等邊△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得異面直線AC與BC1所成角的大小．
【考點精析】利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．