Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+1=2a_n，則使不等式a₁²+a₂²+…+a_n²＜5×2ⁿ⁺¹成立的n的最大值為

4

．

Answer 1

分析：利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比數列的通項公式即可得出a_n，利用等比數列的前n項和公式即可得出

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

，再化簡即可得出答案．

解答：解：當n=1時，a₁+1=2a₁，解得a₁=1．
當n≥2時，∵S_n+1=2a_n，S_n-1+1=2a_n-1，∴a_n=2（a_n-a_n-1），∴

an

an-1

=2．
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列．
∴an=2n-1，∴

a

2 n

=4n-1．
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=1+4+4²+…+4^n-1=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．∴

1

3

(4n-1)＜5×2n+1．
∴2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值為4．

點評：熟練掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比數列的通項公式、等比數列的前n項和公式、不等式的解法等是解題的關鍵．