Question

（文）已知數列{a_n}，S_n是其前n項和，S_n=1-a_n（n∈N^*），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令數列{b_n}的前n項和為T_n，b_n=（n+1）a_n，求T_n；
（3）設cn=

3an	(2-an)(1-an)

，求數列{c_n}的前n項和R_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得當n=1時，a₁=

1

2

；當n≥2時，

an

an-1

=

1

2

，從而可判斷數列a_n是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，繼而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）T_n=b₁+b₂+…+b_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，利用錯位相減法即可求得求T_n；
（3）利用裂項法得c_n=

3an

(2-an)(1-an)

=

3×( 1 2 )n

[2-( 1 2 )n][1-( 1 2 )n]

=3（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），從而可求數列{c_n}的前n項和R_n．

解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，
當n=1時，a₁=S₁=1-a₁，解得a₁=

1

2

．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），
得2a_n=a_n-1，即

an

an-1

=

1

2

．
∴數列a_n是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列．
∴a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）∵b_n=（n+1）a_n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，①

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+（n+1）×(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

T_n=2×

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）×(

1

2

)n+1
=1+

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）×(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-（n+1）×(

1

2

)n+1
=

3

2

-（n+3）×(

1

2

)n+1
∴T_n=3-（n+3）×(

1

2

)n．
（3）∵c_n=

3an

(2-an)(1-an)

=

3×( 1 2 )n

[2-( 1 2 )n][1-( 1 2 )n]

=3（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
∴R_n=c₁+c₂+…+c_n=3[（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）]
=3（1-

1

2n+1-1

）．

點評：本題考查等差數列和等比數列的通項公式的求法，著重考查數列的錯位相減法求和與裂項法求和，解題時要熟練掌握數列的性質和應用，屬于中檔題．