Question

已知函數f(x)=

1

x -1

．
（1）判斷函數f（x）在（1，+∞）上單調性，并用定義加以證明；
（2）求當x∈[3，5]時 f（x） 的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義證明函數f（x）在（1，+∞）上單調性，
（2）利用函數的單調性求函數的值域即可．

解答：解：（1）函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
證明：在（1，+∞）任意設兩個變量x₁＜x₂，且1＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
（2）∵函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
∴函數f（x）在[3，5]上單調遞減．
∴f（5）≤f（x）≤f（3），
即

1

4

≤f（x）≤

1

2

，
則函數f（x） 的值域為[

1

4

，

1

2

]．

點評：本題主要考查函數單調性的應用以及值域的求法，利用函數單調性的定義是解決本題的關鍵．