Question

【題目】已知A、B是函數y=f（x），x∈[a，b]圖象的兩個端點，M（x，y）是f（x）上任意一點，過M（x，y）作MN⊥x軸交直線AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．
（1）若f（x）=x+ ，x∈[ ，2]，證明：f（x）在[ ，2]上“ 階線性近似”；
（2）若f（x）=x2在[﹣1，2]上“k階線性近似”，求實數k的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若f（x）=x+ ，x∈[ ，2]，則A（ ， ）、B（2， ），

故直線AB的方程為：y= ，

則由|MN|= ﹣（x+ ），

∴|MN|∈[0， ]，

故|MN|≤ ，

故f（x）在[ ，2]上“ 階線性近似”

（2）解：由MN⊥x交直線AB于N，得 N 和M的橫坐標相同．

對于區間[﹣1，2]上的函數f（x）=x2 ，A（﹣1，1）、B（2，4），

則直線AB的方程為：y=x+2，

則有|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴|MN|∈[0， ]．

再由|MN|≤k恒成立，可得 k≥ ．

故實數k的最小值為 ．

【解析】（1）根據對勾函數的圖象和性質，得到f（x）=x+ ，x∈[ ，2]，滿足|MN|≤ ，進而得到答案．（2）由已知可得 N和M的橫坐標相同，根據|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ 及x∈[﹣1，2]，求出|MN|的范圍，再由|MN|≤k恒成立，求得k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的圖象(函數的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成；圖像上每一點坐標（x，y）代表了函數的一對對應值，他的橫坐標x表示自變量的某個值，縱坐標y表示與它對應的函數值)．