Question

下面四個命題：
①函數y=sin|x|的最小正周期為π；
②在△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，則△ABC一定是鈍角三角形；
③函數y=2+log_a（x-2）（a＞0且a≠1）的圖象必經過點（3，2）；
④y=cosx-sinx的圖象向左平移

π

4

個單位，所得圖象關于y軸對稱；
⑤若命題“?x∈R，x²+x+a＜0”是假命題，則實數a的取值范圍為[

1

4

，+∞)；
其中所有正確命題的序號是

②③⑤

．

Answer 1

分析：根據正弦函數的圖象與性質，通過舉反例得到①不正確；根據向量數量積的性質，得到②正確；根據對數函數的圖象特征，結合函數圖象平移的規律，得到③正確；用輔助角公式化簡，結合正余弦函數的奇偶性，得到④不正確；根據一元二次不等式解集的結論，可得⑤正確．由此得到正確答案．

解答：解：對于①，因為x＞0時，sin|x|=sinx，此時不滿足f（x+π）≠f（x），故①是假命題；
對于②，因為向量

AB

、

BC

的夾角是角B的補角，所以

AB

•

BC

＞0時，π-B是銳角，
故B為鈍角，△ABC是鈍角三角形，故②是真命題；
對于③，因為y=log_ax圖象經過點（1，0），而函數y=2+log_a（x-2）圖象是由y=log_ax右移2個單位，再上移2個單位而得，故y=2+log_a（x-2）圖象必經過點（3，2），因此③是真命題；
對于④，y=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

），所以y=cosx-sinx的圖象向左平移

π

4

個單位，得到的解析式為y=

2

cos（x+

π

2

）=-

2

sinx，圖象不關于y軸對稱，故④是假命題；
對于⑤，命題“?x∈R，x²+x+a＜0”是假命題，說明x²+x+a的最小值a-

1

4

≥0，可得a≥

1

4

，因此⑤是真命題
綜上所述，正確命題的序號為：②③⑤
故答案為：②③⑤

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數的周期性、三角函數的奇偶性和向量數量積的性質等知識，屬于基礎題．準確理解相關的概念對各個選項加以正確判斷，是解決本題的關鍵．