Question

已知函數f（x）=sin（2x+

π

2

），給出下面四個命題：
①函數f（x）的最小正周期為π；
②函數f（x）是偶函數；
③函數f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱；
④函數f（x）在區間[0，

π

2

]上是增函數，
其中錯誤命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：①根據函數y=Asin（ωx+Φ）的最小正周期判定①是否正確；
化簡函數，利用奇偶函數的定義判斷②是否正確；
根據正弦函數圖象的對稱軸，求得本題函數的對稱軸方程，判斷③的正確性；
根據正弦函數的遞增區間，求得本函數的遞增區間，判斷④是否正確．

解答：解：函數的最小正周期是

2π

2

=π，∴①正確；
∵f（x）=cos2x，f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），∴②正確；
∵x=

π

4

時，2×x+

π

2

=π≠kπ+

π

2

，k∈Z，∴③錯誤；
∵函數的增區間2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z⇒kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈Z，∴[0，

π

2

]是減區間，故④錯誤．
故答案是③④

點評：本題借助考查命題的真假判定，考查y=Asin（ωx+Φ）函數的性質．