Question

三棱錐的下底是邊長為6的等邊三角形，若所有側棱都是4

3

，則它的側棱與下底面所成的角為

60°

．

Answer 1

分析：由題意可知三棱錐為正三棱錐，過頂點作底面的垂線，連結底面三角形的一個頂點和垂足，然后通過解直角三角形求出側棱和底面所成的角．

解答：解：如圖，
因為三棱錐P-ABC的底面ABC的邊長都為6，
且三條側棱的長都為4

3

．
所以此三棱錐為正三棱錐．
設頂點P的射影為O，連結AO并延長交BC于D，
則AD為邊BC上的高．
由△ABC為等比三角形且邊長等于6，所以BC邊上的高（中線）AD=3

3

．
所以AO=

2

3

×3

3

=2

3

．
所以側棱PA與底面ABC所成角的余弦值為cos∠PAO=

AO

PA

=

2 3

4 3

=

1

2

．
則側棱與下底面所成的角為60°．
故答案為60°．

點評：本題考查了直線與平面所成的角，關鍵是線面角的找法，是中檔題．