Question

已知數列．
（I）試證數列是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（II）在數列{b_n}是，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由．
（III）試證在數列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數列；并求出正整數r，s之間的關系．

Answer 1

（I）證明：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，所以==-1
又因為a₁-=，所以數列{a_n-×2ⁿ}是首項為，公比為-1的等比數列．
所以a_n-×2ⁿ=×（-1）^n-1，即a_n=[2ⁿ-（-1）ⁿ]，所以b_n=2ⁿ-（-1）ⁿ． （5分）
（II）解：假設在數列{b_n}中，存在連續三項b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數列，則b_k-1+b_k+1=2b_k，
即[2^k-1-（-1）^k-1]+[2^k+1-（-1）^k+1]=2[2^k-（-1）^k]，即2^k-1=4（-1）^k-1．
①若k為偶數，則2^k-1＞0，4（-1）^k-1=-4＜0，所以，不存在偶數k，使得b_k-1，b_k，b_k+1成等差數列．（7分）
②若k為奇數，則當k≥3時，2^k-1≥4，而4（-1）^k-1=4，所以，當且僅當k=3時，b_k-1，b_k，b_k+1成等差數列．
綜上所述，在數列{b_n}中，有且僅有連續三項b₂，b₃，b₄成等差數列．（9分）
（III）證明：要使b₁，b_r，b_s成等差數列，只需b₁+b_s=2b_r，
即3+2^s-（-1）^s=2[2^r-（-1）^r]，即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，（﹡） （10分）
①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2^s-2^r+1=0，
右端（-1）^s-2（-1）^r-3=（-1）^s+2（-1）^s-3=3（-1）^s-3，
要使（﹡）式成立，當且僅當s為偶數時．又s＞r＞1，且s，r為正整數，
所以當s為不小于4的正偶數，且s=r+1時，b₁，b_r，b_s成等差數列．（12分）
②若s≥r+2時，在（﹡）式中，左端2^s-2^r+1≥2^r+2-2^r+1=2^r+1，
由（II）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2^s-2^r+1≥16（當且僅當s為偶數、r為奇數時取“=”）；右端（-1）^s-2（-1）^s-3≤0．所以當s≥r+2時，b₁，b_r，b_s不成等差數列．
綜上所述，存在不小于4的正偶數s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列． （14分）
分析：（I）由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，從而可證=-1，即可證得數列是等比數列，并可求數列{b_n}的通項公式；
（II）解：假設在數列{b_n}中，存在連續三項b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數列，則b_k-1+b_k+1=2b_k，即2^k-1=4（-1）^k-1．分類討論，可得在數列{b_n}中，有且僅有連續三項b₂，b₃，b₄成等差數列；
（III）證明：要使b₁，b_r，b_s成等差數列，只需b₁+b_s=2b_r，即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，（﹡），分類討論，可知存在不小于4的正偶數s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列．
點評：本題主要考查等比數列的判定和等差數列的應用，考查函數與方程，分類討論思想，考查推理論證能力．