Question

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+an+1=2n(n∈N*)，bn=3an．
（I）試證數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）在數(shù)列{b_n}是，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．
（III）試證在數(shù)列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數(shù)r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r，s之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（I）由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，從而可證

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=-1，即可證得數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列，并可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）解：假設(shè)在數(shù)列{b_n}中，存在連續(xù)三項(xiàng)b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數(shù)列，則b_k-1+b_k+1=2b_k，即2^k-1=4（-1）^k-1．分類討論，可得在數(shù)列{b_n}中，有且僅有連續(xù)三項(xiàng)b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列；
（III）證明：要使b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列，只需b₁+b_s=2b_r，即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，（﹡），分類討論，可知存在不小于4的正偶數(shù)s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列．

解答：（I）證明：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，所以

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=-1
又因?yàn)閍₁-

2

3

=

1

3

，所以數(shù)列{a_n-

1

3

×2ⁿ}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為-1的等比數(shù)列．
所以a_n-

1

3

×2ⁿ=

1

3

×（-1）^n-1，即a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，所以b_n=2ⁿ-（-1）ⁿ．  （5分）
（II）解：假設(shè)在數(shù)列{b_n}中，存在連續(xù)三項(xiàng)b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數(shù)列，則b_k-1+b_k+1=2b_k，
即[2^k-1-（-1）^k-1]+[2^k+1-（-1）^k+1]=2[2^k-（-1）^k]，即2^k-1=4（-1）^k-1．
①若k為偶數(shù)，則2^k-1＞0，4（-1）^k-1=-4＜0，所以，不存在偶數(shù)k，使得b_k-1，b_k，b_k+1成等差數(shù)列．（7分）
②若k為奇數(shù)，則當(dāng)k≥3時(shí)，2^k-1≥4，而4（-1）^k-1=4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=3時(shí)，b_k-1，b_k，b_k+1成等差數(shù)列．
綜上所述，在數(shù)列{b_n}中，有且僅有連續(xù)三項(xiàng)b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列．（9分）
（III）證明：要使b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列，只需b₁+b_s=2b_r，
即3+2^s-（-1）^s=2[2^r-（-1）^r]，即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，（﹡） （10分）
①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2^s-2^r+1=0，
右端（-1）^s-2（-1）^r-3=（-1）^s+2（-1）^s-3=3（-1）^s-3，
要使（﹡）式成立，當(dāng)且僅當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)．又s＞r＞1，且s，r為正整數(shù)，
所以當(dāng)s為不小于4的正偶數(shù)，且s=r+1時(shí)，b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列．（12分）
②若s≥r+2時(shí)，在（﹡）式中，左端2^s-2^r+1≥2^r+2-2^r+1=2^r+1，
由（II）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2^s-2^r+1≥16（當(dāng)且僅當(dāng)s為偶數(shù)、r為奇數(shù)時(shí)取“=”）；右端（-1）^s-2（-1）^s-3≤0．所以當(dāng)s≥r+2時(shí)，b₁，b_r，b_s不成等差數(shù)列．
綜上所述，存在不小于4的正偶數(shù)s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列． （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判定和等差數(shù)列的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程，分類討論思想，考查推理論證能力．