Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1-an=

1

3n+1

(n∈N*)，則

lim

n→∞

an=

 

．

Answer 1

分析：首先由an+1-an=

1

3n+1

(n∈N*)求a_n可以猜想到用錯位相加法把中間項消去，即可得到a_n的表達式，再求極限即可．

解答：解：因為an=(an-an-1)+(an-1+an-2)++(a2-a1)+a1=

1

3n

+

1

3n-1

+…+

1

32

+1
所以a_n是一個等比數(shù)列的前n項和，所以an=

1-qn

1-q

，且q=2．代入，
所以

lim

n→∞

an=1+

1 32

1- 1 3

=

7

6

．
所以答案為

7

6

點評：此題主要考查數(shù)列的求和問題，用到錯位相加法的思想，需要注意．