Question

¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_k （k=0，1，2，…，9，10）都是常數，則a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先將¹⁰變形為（）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰，再利用二項式定理展開可得¹⁰=（）¹⁰+（）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；結合題意，可得a₁=（）¹⁰C₁₀¹，a₂=（）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹⁰，進而可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹+（）¹⁰C₁₀²+…（）¹⁰C₁₀¹⁰=（）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，由二項式系數的性質，可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰×10×[C₉+C₉¹+…+C₉⁹]=（）¹⁰×10×2⁹，計算可得答案．
解答：解：¹⁰=（）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰=（）¹⁰+（）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；
根據題意，¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，
則a=（）¹⁰，a₁=（）¹⁰C₁₀¹，a₂=（）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹⁰，
則a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹+2（）¹⁰C₁₀²+…+10（）¹⁰C₁₀¹⁰，
=（）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，
又由mC_n^m=nC_n-1^m-1，則C₁₀¹=10C₉，2C₁₀²=10C₉¹，…，10C₁₀¹⁰=10C₉⁹，
即a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰×10×[C₉+C₉¹+…+C₉⁹]=（）¹⁰×10×2⁹=5；
故答案為5．
點評：本題考查二項式定理的運用，解題的關鍵要靈活運用二項式系數的性質．