Question

（2010•崇明縣二模）已知雙曲線

x2

12

-

y2

4

=1的右焦點為F（c，0），點P到F（c，0）的距離比到直線x+5=0的距離少1，則點P的軌跡方程為

y²=16x

．

Answer 1

分析：根據雙曲線方程，求出它的半焦距，得出點F的坐標為F（4，0），將直線x+5=0右移一個單位，可得點P到F（4，0）的距離等于P到直線x+4=0的距離，符合拋物線的定義．因此設所求軌跡為y²=2px（p＞0），再根據拋物線的焦點坐標求出p值，從而得出拋物線的方程，即為所求的軌跡方程．

解答：解：由雙曲線

x2

12

-

y2

4

=1得：c=

12+4

=4
所以焦點為F（4，0），
點P到F（4，0）的距離比到直線x+5=0的距離少1，
即點P到F（4，0）的距離等于P到直線x+4=0的距離
根據拋物線的定義知點P的軌跡是以F為焦點，
直線x+4=0為準線的拋物線，設方程為y²=2px（p＞0）
∵

p

2

=4
∴2p=16
所求拋物線的方程為y²=16x
故答案為：y²=16x

點評：本題是圓錐曲線的綜合題，屬于中檔題．熟練掌握雙曲線的基本量和拋物線的定義，是解決好本題的關鍵，考查了轉化化歸的數學思想．