Question

已知函數f（x）=|log 

1

2

x|，若m＜n，有f（m）=f（n），則m+3n的取值范圍是（　　）

• A、[2

  3

  ，+∞）
• B、（2

  3

  ，+∞）
• C、[4，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

分析：作出f（x）的圖象，由圖象可知0＜m＜1＜n，由f（m）=f（n）可得m=

1

n

，從而m+3n可化為關于n的函數，用導數可判斷其單調性，從而可得答案．

解答：解：作出f（x）=|log 

1

2

x|的圖象，如圖所示：
∵m＜n，且f（m）=f（n），由圖象可知，0＜m＜1＜n，
∴|log

1

2

m|=|log

1

2

n|，即log

1

2

m=-log

1

2

n=log

1

2

1

n

，
∴m=

1

n

，
∴m+3n=

1

n

+3n，
令g（n）=

1

n

+3n（n＞1），則g'（n）=-

1

n2

+3=

3n2-1

n2

＞0，
∴g（n）在（1，+∞）上遞增，
∴g（n）＞g（1）=4，即m+3n的取值范圍是（4，+∞），
故選：D．

點評：本題考查對數函數的圖象和性質，考查函數思想，考查學生分析解決問題的能力．