Question

已知E、F分別為正四面體ABCD棱AD、BC的中點，則異面直線AC與EF所成的角為  （　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：取CD的中點G，利用三角形中位線的性質可得∠GEF或其補角即為異面直線AC與EF所成的角．再利用勾股定理可得△EFG為等腰直角三角形，得到∠GEF=45°，從而求得異面直線AC與EF所成的角．

解答：解：取CD的中點G，∵E、F分別為正四面體ABCD棱AD、BC的中點，故EG是△ACD的中位線，故AC=2EG，AC∥EG．
同理，F(xiàn)G是△BCD的中位線，BD=2 FG，BD∥FG，故∠GEF或其補角即為異面直線AC與EF所成的角．
設正四面體ABCD的邊長為1，則 FG=EG=

1

2

，EF=

FD2-DE2

=

3 4 - 1 4

=

2

2

．
∴FG²+EG²=EF²，
∴△EFG為等腰直角三角形，
∴∠GEF=45°．
故異面直線AC與EF所成的角為45°，
故選B．

點評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關鍵，屬于中檔題．