Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=5，
E、F分別為D₁D、B₁B上的點，且DE=B₁F=1．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求點E到平面ACF的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸
建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），D₁（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）
∴=（-2，2，0），=（0，2，4），
=（-2，-2，1），=（-2，0，1）．
∴
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF=A
∴BE⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為平面ACF的一個法向量
∴向量在上的射影長即為E到平面ACF的距離，設為d
于是 d==
故點E到平面ACF的距離
分析：（I）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，要證明線與面垂直，只要證明這條直線與平面上的兩條直線垂直．
（II）為平面ACF的一個法向量，向量在上的射影長即為E到平面ACF的距離，根據點到面的距離公式得到結果．
點評：本題是一個立體幾何的綜合題目，題目的第一問，用空間向量來證明，實際上若不是為了后一問應用方便，可以采用幾何法來證明．