Question

 2. 已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點.

（1）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（2）求點D₁到平面B₁EF的距離.

Answer 1

(1)證明略 (2)

解析:

（1）  建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），

B（2，2，0），E（2，，0），

F（，2，0），D₁（0，0，4），

B₁（2，2，4）.

=（-，，0），=（2，2，0），=（0，0，4），

∴·=0，·=0.

∴EF⊥DB，EF⊥DD₁，DD₁∩BD=D，

∴EF⊥平面BDD₁B₁.

又EF平面B₁EF，∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（2）  由（1）知=（2，2，0），

=（-，，0），=（0，-，-4）.

設(shè)平面B₁EF的法向量為n,且n=(x,y,z)

則n⊥,n⊥

即n·=（x，y，z）·（-，，0）=-x+y=0，

n·=（x，y，z）·（0，-，-4）=-y-4z=0，

令x=1,則y=1,z=-,∴n=(1,1,- )

∴D₁到平面B₁EF的距離

d===.