Question

已知動圓M：x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0與圓N：x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B兩點，且這兩點平分圓N的圓周．
（1）求動圓M的圓心的軌跡方程；
（2）求半徑最小時圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得圓M的圓心坐標為（m，n），欲求點動圓M的圓心的軌跡方程，只須求出其坐標m，n 的關系式即可，由圖中直角三角形AMN利用勾股定理得到一個關系式，化簡即得圓心的軌跡方程．
（2）欲求半徑最小時圓M的方程，由于圓M半徑r=

n2+1

，只須求出n的取值范圍即可．

解答：解：（1）如圖所示（坐標系省略了），圓心N（-1，-1）為弦AB的中點，在Rt△AMN中，
|AM|²=|AN|²+|MN|²，
∴（m+1）²=-2（n+2）．（*）
故動圓圓心M的軌跡方程為（x+1）²=-2（y+2）．
（2）由（*）式，知（m+1）²=-2（n+2）≥0，于是有n≤-2．
而圓M半徑r=

n2+1

≥

5

，
∴當r=

5

時，n=-2，m=-1，所求圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=5．

點評：本小題主要考查圓與圓的位置關系、曲線與方程、函數最值等基礎知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．