Question

若θ∈(0，

π

2

)，當關于x，y的方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1

有四組不同的解時，θ的取值范圍是

(0，

π

4

)

．

Answer 1

分析：方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 ① x2cosθ-y2sinθ=1  ②

中的①②分別表示橢圓與雙曲線，要使得關于x，y的方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1

有四組不同的解，只須橢圓與雙曲線有四個交點即可，如圖．只須橢圓的長軸長大于雙曲線的實軸長即可，由此建立關于θ的不等關系即可求得θ的取值范圍．

解答：解：方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 ① x2cosθ-y2sinθ=1  ②

中的①②分別表示橢圓與雙曲線，
要使得關于x，y的方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1

有四組不同的解，只須橢圓與雙曲線有四個交點即可，如圖．
只須橢圓的長軸長大于雙曲線的實軸長即可，
即

1

sinθ

＞

1

cosθ

，⇒sinθ＜cosθ，⇒θ∈(0，

π

4

)．
故答案為：(0，

π

4

)．

點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的標準方程、圓錐曲線的共同特征、三角不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．