Question

已知函數f（x）=（x²+1）e^2x，若0°＜2α＜90°，90°＜β＜180°a=（sinα）^cosβ，b=（cosα）^sinβ，c=（cosα）^cosβ，則f（a），f（b），f（c）的大小關系是（　　）

A．f（a）＜f（b）＜f（c）

B．f（a）＞f（b）＞f（c）

C．f（a）＞f（c）＞f（b）

D．f（a）＜f（c）＜f（b）

Answer 1

分析：先判斷函數f（x）的單調性，根據α，β的范圍可判斷cosα，cosβ，sinα，sinβ的大小關系及符號，根據指數函數及冪函數單調性即可比較大小．

解答：解：f′（x）=2x•e^2x+（x²+1）•2e^2x=2e^2x（x+x²+1），
因為x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0，
所以f′（x）＞0，所以f（x）在R上單調遞增．
由0°＜2α＜90°得0°＜α＜45°，所以0＜cosα＜1，
又90°＜β＜180°，所以sinβ＞0＞cosβ，所以（cosα）^sinβ＜（cosα）^cosβ，即b＜c；
由cosβ＜0及sinα＜cosα，得（sinα）^cosβ＞（cosα）^cosβ，即a＞c，
綜上，a＞c＞b，又f（x）單調遞增，所以f（a）＞f（c）＞f（b），
故選C．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查指數函數、冪函數單調性的應用，考查三角函數值的大小比較，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．