Question

已知函數f（x）=-3x-x³，x∈R，若θ∈[0，

π

2

]時，不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先研究函數f（x）=-3x-x³，x∈R的單調性，求導既得，由不等式恒成立進行轉化，再研究θ∈[0，

π

2

]時cos²θ-2t與4sinθ-3取值范圍，分離出參數t，利用三角函數的性質求其范圍即得實數t的取值范圍．

解答：解：由于f′（x）=-3-3x²＜0恒成立，故函數函數f（x）=-3x-x³，x∈R是一個減函數，由解析式可知，函數也是一個奇函數，
又不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，故f（cos²θ-2t）≥-f（4sinθ-3）=f（-4sinθ+3）在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
即cos²θ-2t≤-4sinθ+3在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
即cos²θ-3+4sinθ≤2t在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
即2t≥-sin²θ+4sinθ-2=-（sinθ-2）²+2在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
∵θ∈[0，

π

2

]時sinθ∈[0，1]，∴=-（sinθ-2）²+2≤1
∴2t≥1，t≥

1

2

故答案為[

1

2

，+∞)

點評：本題考查函數單調性的性質，本題是一個恒成立的問題，通過函數的單調性將其轉化為三角不等式恒成立的問題，再分離常數，通過求三角函數的最值得到參數t的取值范圍．本題考查了轉化化歸的思想，解題的關鍵是將恒等式進行正確轉化，且能根據所得的形式判斷應該求出三角形函數的最值以得到參數滿足的不等式，求參數，本題思維量較大，難度不小．易因為轉化時不等價出錯．